同一条抛物线，
为什么有的瘦、有的胖？
右边三条曲线，都是二次函数的图像。它们的式子只差一个数字，形状却判若两物—— 一个瘦得像针，一个胖得像碗。这个“数字”到底对图像做了什么？
课本给你的是结论，这里给你的是可以亲手拧动的开关： 拖动三个滑块，看抛物线怎么跟着变。先猜，再拖，最后对答案。
调 a、h、k，看图怎么动
统一用顶点式 y = a(x − h)² + k。下面按顺序一次只解锁一个参数—— 三个一起拖会看不清谁在起作用，这正是这个难点最容易翻车的地方。
顶点式 y = a(x − h)² + k 里，三个数字各管一件事，互不越权： a 决定“张口朝哪、有多瘦”，h 决定“顶点往左右挪几格”，k 决定“顶点往上下挪几格”。
注意：调 h、k 时，抛物线的形状一点没变（|a| 没动）， 所以这叫平移；只有动 a，形状才会变。
三张对照图，把“系数—形状”的因果钉死
这三张图都是静止的，用来对照刚才调参时看到的规律——看不清就回实验台再拖一次。
开口方向 & 胖瘦
a 的符号定方向（正上负下）；a 的绝对值定胖瘦——|a| 越大，图像越贴近 y 轴，看起来越“瘦”。
两条曲线形状完全一样，只是整体向右搬了 3 格。
左右平移：h 与符号相反
顶点横坐标就是 h。看到 (x − 3)² 就往右移 3 格，看到 (x + 3)² 就往左移 3 格——符号总是“反着来”。
同样的形状，整体向上搬了 3 格，k 就是新的顶点纵坐标。
上下平移：k 就是最值
k 直接是顶点纵坐标。a > 0 时 k 是最小值，a < 0 时 k 是最大值——最值不是“算出来的”，是读出来的。
把 c 拖过去，看它“碰没碰到”x 轴
固定 a = 1，只动 b 和 c。抛物线与 x 轴的交点，就是方程 x² + bx + c = 0 的根； 碰不碰得到，全看判别式 Δ = b² − 4c 的符号。
二次函数的全部脾气，都装在 a、h、k 三个数字里： a 定形（方向与胖瘦），h、k 定位（顶点在哪）。