初中
方程与不等式
代数推导
根的判别式
Δ 的正负，决定了抛物线是和 x 轴相交、相切，还是完全不相交。
动手探究：让 Δ 从正数连续变到负数，交点是怎么「合并成一个点」然后「消失」的？
可调参数
主对象
辅助对象
关键点 / 结论
推导与公式
关键结论
- Δ = b² − 4ac；Δ > 0 两个不等实根，Δ = 0 两个相等实根，Δ < 0 无实根。
- Δ 只与系数有关，与开口方向无关。
- 有实根 ⇔ Δ ≥ 0，这是讨论含参方程的前提条件。
- Δ 的几何意义：抛物线与 x 轴公共点的个数。
容易错的地方
认为 Δ < 0 时方程「无解」——它在实数范围内无解，但在复数范围内仍有两个根。